没时间写前言了，现在赶到现场的是屁都不会的我和拼劲全力不能战胜的 PDE。
从这里到这里，196 页，这真的可能吗？
第一章 绪论
以函数作为未知量的方程称为 函数方程 / 泛函方程。
联系自变量、未知函数、未知函数导数的函数方程是 常微分方程。
常微分方程的多元函数的版本是 偏微分方程。
n 阶常微分方程的 n 说的是最高导数阶数。
求解思想
计算和近似计算
通解说的是有独立常数的解，特别的，这个独立常数满足对 y 和 y导数的雅可比行列式不为0
我看不懂，但是我看那个行列式懂了，也就是偏微分c1 c2在对函数组「贡献」组成的向量上是线性无关，也就是说c1和c2对函数组贡献无关，对函数组有相互独立的贡献。
常数被确定的时候就出了 特解。
初值条件 就是为了让通解变成特解的条件种类一种，边界条件 也是作用让通解变特解。不同的是初值条件基本上围绕一个点，边界条件围绕一系列点。
附加初值条件的方程称为 初值问题，也叫 Cauchy 问题。
对于难解的初值问题，也可以考虑用迭代构造函数序列的办法来逼近初值问题特解。
用等价积分形式
这里用的是牛顿-莱布尼茨公式，也就是微积分基本定理：定积分出来的是函数插值。
保证收敛性下，用递推公式就能得出近似解。
几何分析
微分方程的方向场就是点上指明该点的斜率。
积分曲线就是方程解的曲线
这么做的好处是，积分曲线的每个点都是与方向场一致的光滑曲线。
反过来说，看方向场就能看到积分曲线，从而看到解的几何特征。
等倾线用于看积分曲线的分布状况。等倾线就是每个点斜率都一样的曲线。
斜率为0的等倾线是水平等倾线，垂直的则是垂直等倾线。
第二章 初等积分法
变量分离形式
经典变量分离
像这样的一阶微分方程就是变量分离形式的方程。
可以用分离变量法求解：
可以看出来最后这个就是隐式通解，也可以继续算出通解。
再考虑初值条件
变量分离三步，当然也可以直接套公式。第一步是分离变量，第二步是两边积分，第三步求解 y，此外还可以考虑初值条件得到初值条件下的解。
一阶线性微分方程
其中，
这样的方程也可以通过技巧化成经典变量分离方程。
操作如下：
这就是常数变易法，通解称为常数变易公式。
这个鬼公式太难记了，但是推理过程也贼难理解。大概可以这么理解，齐次线性方程的通解是非齐次线性方程
感觉不如直接尝试瞪眼结论：
这里可以理解成解的基础，里面的 C 就是齐次时的通解基础，另一个积分是 f(x) 作用于通解的变化……算了我编不下去了，多用公式看看能不能记住吧。
Bernoulli 方程
更加宽泛的方程通解
像这样的就是 Bernoulli 方程。（名字拼着好麻烦）
可以算出
齐次方程
更加宽泛
这样的就是齐次方程，同样也可以化成之前的已经解开的形式。 好消息是可以直接化成变量分离形式.
这个就是变量分离的方程了，解出来再把 x,y 代入解就可以得到原方程通解.
感觉是最好理解的一个，除了需要注意 u 也是关于 x 的函数，在求导的时候要用链式法则以外还行。
恰当方程形式
积分因子
隐式方程形式
基本上是令
- 如果能解出
，则可以化为变量分离形式. - 如果能解出
，则可以让 作为 参数得到参数解.
初等积分法的应用
积分公式别忘记看了。
第三章 线性方程
存在性和唯一性
解唯一性定理
齐次线性方程组的通解结构
讨论齐次线性方程组
叠加原理.
齐次方程组的
Wronski 行列式：
判断解组是否线性无关的办法：
迹就是主对角线元素之和。
你总结得特别准！核心就是 “解组→矩阵” 的递进关系：
- 基本解矩阵 = 线性无关的解组（基本解组）按列拼起来的矩阵；
- 标准解矩阵 = 给基本解矩阵加了个 “初始时刻取单位矩阵” 的约束，是更具体的特殊情况。
这种理解完全够用，期末考到概念题这么答肯定没问题～
基本解矩阵就是基本解组拼起来的矩阵。标准解矩阵就是 E 矩阵这样的矩阵。
任一解都能表示为
非齐次线性方程组的通解
也就是
高阶线性方程
这么转化.
同样适用前面的线性方程组的结论.
复值解和级数解法
第四章 常系数线性方程
齐次问题
非齐次问题
常系数线性方程组
第五章 一般理论
第五章一般理论 “抓结论、不抠证明”
第五章是概念 / 理论题（存在唯一性、解的延拓等），10 分钟快速记：
- Picard 存在唯一性：条件是 “右端函数连续 + 关于未知函数 Lipschitz 连续”，结论是 “初值问题存在唯一解”；
- Peano 存在定理：条件更弱（只需要右端函数连续），结论是 “存在解但不保证唯一”；
- 解的延拓、对初值的依赖性：记 “解可以延拓到最大存在区间”“解关于初值连续可微” 这类结论即可。
