概率与统计 大逃杀笔记2

基本

对立事件： 互斥事件： 德摩根律： 事件的差的公式： 容斥定理：

事件A,B独立等价于：

三个事件ABC独立等价于：

省略古典概型和几何概型

条件概率：

条件概率的公式们：

• 乘法公式：
• 全概率公式：
• 贝叶斯公式：

一维随机变量

分布函数

注意分布函数是 .

离散变量常用分布

二项分布：

泊松分布：

连续随机变量

概率密度函数：

正则性：

常用分布

均匀分布：在上取值是等概率的

指数分布：常用于寿命分布

• • 无记忆性：。也就是说，从s岁开始再活t年的概率，等于从0岁开始活t年的概率.

正态分布：

• , 均值，标准差.
• 称为标准正态分布，分布函数记为.
• 正态变量标准化：
  • 对称性：

随机变量函数的分布

离散的直接代入算。

连续的见下。

一般是先求分布函数，然后求概率密度函数.

二维随机变量

联合分布函数：

联合分布函数充要：单调、有界、右连续.

概率密度函数：

求概率：

边缘分布

条件分布：联合除以边缘

卷积公式：

注意，这里的公式需要变量间是独立同分布.

随机变量的数字特征

一维分布的数字特征

期望

性质：

也称为 阶矩

方差

性质

注：方差的算术平方根称为 标准差 ，标准差与期望的比称为 变异系数 C

切比雪夫不等式

常用分布期望和方差

二维分布特征数

方差

性质：

• 无论 X, Y 是否独立，都有
• 如何 XY 相互独立则有
• 如果独立变量

协方差

相关系数

• Cov > 0 则 X,Y 正相关
• Cov = 0 则 X, Y 不相关 → 不一定独立，但是独立一定不相关
• Cov < 0 则 X, Y 负相关

性质

• 线性性：
• 不独立变量之和的方差、协方差，与整式乘法相似：

大数定律

在一定条件下，随机变量的均值趋近于期望的均值

• 伯努利大数定律：服从二项分布
• 切比雪夫大数定律：方差存在上界
• 辛钦大数定律：独立同分布

中心极限定理

独立同分布变量的和，近似服从于正态分布，期望和方差不变

统计量及其分布

统计量：不含位置参数的函数称为统计量

样本均值： 样本方差：

性质

卡方分布

若相互独立，则服从自由度为的卡方分布

性质：

• 可加性
• 若
• 特别地，若

t 分布

当 时，t分布可以近似认为是标准正态分布

F 分布

正态总体的抽样分布

我的天啊，太长了。

第一个是标准化，分子标准化期望，分母标准化方差.

用s替换sigma就服从t(n-1)分布

唉。

参数估计

点估计

矩估计。用样本矩代替总体矩，尽量选择阶数低的。

• 如果只有一个未知量，令
• 如果有两个未知量，就再令

最大似然估计

求使得联合密度函数 最大的参数

1. 写出联合密度函数
2. 求对数
3. 令偏导为0并求解

估计优良性标准

• 无偏性：估计量的期望等于实际值
• 有效性：估计量的方差尽可能小
• 相合性：样本趋于无穷时，估计量趋于实际值

可以证明，样本均值、方差是无偏估计量。

矩估计和最大估计给出的方差不是无偏估计量。

区间估计

区间估计问题：

步骤

• 选择统计量
• 找到区间使得
• 化简得出答案

假设检验

假设是 ，备择假设是其反面

两类错误：

• 第一错误（拒真）：原假设正确，但落入拒绝域。
• 第二错误（存伪）：原假设错误，但没落入拒绝域。

第一类错误也称为显著性水平。